设
R
{\displaystyle R}
是非空集合
A
{\displaystyle A}
上的关系，
R
{\displaystyle R}
的自反（对称或传递）闭包是
A
{\displaystyle A}
上的关系
R
′
{\displaystyle R'}
，满足
R
′
{\displaystyle R'}
是自反的（对称的或传递的）
R
⊆
R
′
{\displaystyle R\subseteq R'}
对
A
{\displaystyle A}
上任何包含
R
{\displaystyle R}
的自反（对称或传递）关系
R
″
{\displaystyle R''}
有
R
′
⊆
R
″
{\displaystyle R'\subseteq R''}
一般将
R
{\displaystyle R}
的自反闭包记作
r
(
R
)
{\displaystyle r(R)}
，对称闭包记作
s
(
R
)
{\displaystyle s(R)}
，传递闭包记作
t
(
R
)
{\displaystyle t(R)}
。
下列三个定理给出了构造闭包的方法：
r
(
R
)
=
R
∪
R
0
{\displaystyle r(R)=R\cup R^{0}}
s
(
R
)
=
R
∪
R
−
1
{\displaystyle s(R)=R\cup R^{-1}}
t
(
R
)
=
R
∪
R
2
∪
R
3
∪
⋯
{\displaystyle t(R)=R\cup R^{2}\cup R^{3}\cup \cdots }
对于有限集合
A
{\displaystyle A}
上的关系
R
{\displaystyle R}
，存在一个正整数
r
{\displaystyle r}
，使得
t
(
R
)
=
R
∪
R
2
∪
⋯
∪
R
r
{\displaystyle t(R)=R\cup R^{2}\cup \cdots \cup R^{r}}
求传递闭包是图论中一个非常重要的问题，例如给定了一个城市的交通地图，可利用求传递闭包的方法获知任意两个地点之间是否有路相连通。可以直接利用关系矩阵相乘来求传递闭包，但那样做复杂度比较高；好一点的办法是在计算矩阵相乘的时候用分治法降低时间复杂度；但最好的方法是利用基于动态规划的Floyd-Warshall算法来求传递闭包。